mercoledì 15 giugno 2016

Come preparare la miscela per il decespugliatore.

Vedendo come fumava il decespugliatore del mio vicino di casa mi è venuta l'idea di scrivere questo post su come si prepara la miscela (benzina e olio) per i motori a due tempi.

Ci tengo fin da subito a "mettere le mani avanti", ossia mi scarico di ogni responsabilità se le istruzioni che vi darò causeranno dei danni ai vostri motori a due tempi. Quanto dirò è certamente corretto, ma se qualcosa va male non voglio sentire lamentele.

Il dato fondamentale che bisogna calcolare è quanto olio bisogna mettere in un litro di benzina. Noto questo valore è sufficiente fare una semplice moltiplicazione per sapere quanto olio serve per qualsiasi quantità di benzina. Per 2 litri si dovrà semplicemente moltiplicare per 2, per 3 litri per 3, ecc... .

Un altro dato da sapere è la percentuale di olio che ci deve essere nella miscela. La maggior parte delle attrezzature da giardino (decespugliatori, tosasiepi, tosaerba ecc...) funzionano con una miscela al 4%. Se si fa una miscela troppo ricca di olio lo scarico diventerà molto fumoso. Se invece la miscela è troppo povera di olio il motore inizierà a riscaldarsi molto e potrebbe anche gripparsi. Con gli oli sintetici moderni per motori a due tempi ad alte prestazioni si può anche fare la miscela al 2% senza avere problemi di nessun tipo. Per sapere la percentuale esatta di olio (ed eventualmente se questo olio deve essere di qualche tipo particolare) è meglio consultare il libretto delle istruzioni del vostro attrezzo dove sicuramente sarà indicata la percentuale di olio nella miscela da usare come carburante.

Siccome il carburante "invecchia", ossia si degrada con il passare del tempo, è consigliabile non preparare una quantità eccessiva di miscela.

Nota la percentuale di olio che ci deve essere nella miscela, la formula per calcolare la quantità di olio espressa in millilitri (ml) da aggiungere ad un litro di benzina è:

quantità di olio in ml in un litro di benzina= 10 * P

dove P è la percentuale di olio.

Ad esempio se la percentuale di olio è 4% il risultato sarà:

quantità di olio in ml in un litro di miscela al 4% = 10 * 4 = 40 ml.

Se si hanno 5 litri di benzina con cui fare la miscela al 4% si dovrà moltiplicare il valore precedente per 5. Il risultato è:

Quantità di olio da mettere in 5 litri di miscela al 4% = 40 * 5 = 200 ml.

A questo punto la formula definitiva sarà:

Quantità di olio in ml da mettere in L litri benzina per avere una miscela al P% = 10 * P * L.

Questa formuletta semplicissima da ricordarsi e facilissima da utilizzare va benissimo in tutte le situazioni.

Per fare una miscela al 2% con 5 litri di benzina avrò bisogno di:

10 * 2 * 5 = 100 ml di olio.

Per fare una miscela al 3% con 5 litri di benzina avrò bisogno:

10 * 3 * 5 = 150 ml di olio.

A questo punto bisogna munirsi di un qualche contenitore graduato che permetta di dosare la quantità di olio calcolata e procedere con la miscelazione di olio e benzina.

Ormai sempre più spesso ci si rifornisce dai distributori automatici ed è quindi impossibile farsi dare una quantità di litri di benzina esatta. In ogni caso la formula precedente è sempre valida. Occorrerà avere l'accortezza di appuntarsi o di memorizzare la quantità di benzina erogata dal distributore per poi procedere con il calcolo. Se ad esempio si deve fare la miscela al 4% con 5,71 litri di benzina si dovranno usare:

10 * 4 * 5,71 = 228 ml di olio.

Ci tengo infine a fare un'ultima osservazione che obbiettivamente è solo una pedanteria. Se infatti si volesse proprio "spaccare il capello in quattro" si può osservare che se nell'ultimo esempio si mettono 228 ml di olio in 5,71 litri (= 5710 ml) di benzina si ottengono 5,94 litri (= (5170 + 228)/1000 ) di miscela in cui saranno presenti i 228 ml di olio. A questo punto la percentuale di olio nella miscela non sarà esattamente il 4% ma bensi:

(228/5940) * 100 = 3,8%

Chiaramente il motore a due tempi di un decespugliatore non avvertirà assolutamente la differenza fra 4 e 3,8 e quindi la miscela che si è preparata va benissimo.
Per coloro che si vogliono complicare (inutilmente) la vita la formula corretta è:

Quantità di olio da mettere in L litri di benzina per avere esattamente una miscela al P%= (1000 * P * L) / (100 - P).

Nel caso precedente la quantità esatta di olio da mettere in 5,71 litri di benzina per avere una miscela al 4% sarà:

(1000 * 4 * 5,71) / (100 - 4) = 238 ml di olio.

Riconsiderando anche gli esempi precedenti avrò:

Per fare una miscela al 2% con 5 litri di benzina avrò bisogno di esattamente:

(1000 * 2 * 5) / (100 - 2) = 102 ml di olio.

Per fare una miscela al 3% con 5 litri di benzina avrò bisogno di esattamente:

(1000 * 3 * 5) / (100 - 3) = 154 ml di olio.

Per fare una miscela al 4% con 5 litri di benzina avrò bisogno di esattamente:

(1000 * 4 * 5) / (100 - 4) = 208 ml di olio.

venerdì 27 novembre 2015

Scienziati ed ingegneri.

Avete mai avuto un'esperienza diretta che vi mostrasse quanto diversamente possono pensare uno scienziato ed un ingegnere. Io sì.
Viaggiando in autobus passo sempre sotto ad un grosso elettrodotto simile a quello in foto.
L'occhio immancabilmente mi cade sulla forma che assumono i fili tesi tra due tralicci.

Un giorno, seduto sul sedile accanto a me, c'era un ingegnere aeronautico con cui, qualche volta, avevo già scambiato qualche chiacchiera sulle leggi di Newton e sulla propulsione a razzo. Quando siamo passati nei pressi dell'elettrodotto gli ho detto: "Vedi quei cavi. La forma che assumo segue una legge del coseno iperbolico e viene detta catenaria." Il mio conoscente ingegnere, quasi immediatamente, mi ha detto: "È vero, e conoscendo esattamente questa legge si può determinare quanto lontano l'uno dall'altro devono essere posti due tralicci." Immediatamente ho pensato: "È vero! Non avevo mai pensato a questa possibile applicazione."
Qualche giorno dopo mi è ritornato in mente questo scambio di battute ed ho pensato: "Io (lo scienziato) vedevo solo la forma dei fili, mentre lui (l'ingegnere) vedeva solo la distanza tra i tralicci."
È chiaro che nessuno dei due modi di guardare all'elettrodotto è sbagliato, ma sono entrambi deficitari in aspetti fondamentali.

venerdì 9 ottobre 2015

Matematica e Chimica.

Molti pensano che nello studio della chimica ci sia poca matematica. Questo può essere vero se lo studio della chimica si limita a questioni generali, che sono forse le meno interessanti. Negli aspetti più interessanti e moderni della chimica, invece, c'è moltissima matematica. Del resto la chimica in quanto scienza esatta deve essere basata sull'osservazione sperimentale e sulla matematica.
Sant'Agostino a riguardo dei matematici diceva che:” Il buon cristiano dovrebbe stare attento ai matematici e a tutti i falsi profeti. C'è il pericolo che i matematici abbiano stretto un patto col diavolo per annebbiare lo spirito, e mandare l'uomo all'inferno.”
Anche fra i chimici è abbastanza diffuso un certo ingiustificato odio per la matematica, probabilmente perché non la si capisce appieno e forse anche perché si sono avuti dei pessimi insegnati. Senza dubbio i buoni insegnati di matematica scarseggiano.
È ben noto a qualsiasi chimico di oggi che una reazione chimica consiste essenzialmente nella rottura e nella formazione di legami chimici. I legami chimici sono formati dagli elettroni degli atomi, quindi se si conoscessero le leggi seguite dagli elettroni nel loro moto negli atomi avremmo la chiave per spiegare i fatti più fondamentali della chimica. È capitato che queste leggi siano state scoperte e formalizzate nei primi decenni del 1900 e vanno sotto il nome di meccanica quantistica. La meccanica quantistica può senz'altro essere considerata la più grande scoperta scientifica dello scorso secolo ed alla sua costruzione contribuirono i migliori fisici di allora. 


Max Planck (1858-1947)
Niels Bohr (1885-1962)
Louis deBroglie (1892-1987)
 
Werner Heisenberg (1901-1976)
Erwin Schrödinger (1887-1961)
Paul Dirac (1902-1984)

Esiste tuttavia un problema quando si applica la meccanica quantistica alla chimica che può essere ben sintetizzato nella famosa frase dal premio Nobel per la fisica Paul Adrien Maurice Dirac: “Le leggi fondamentali necessarie per il trattamento matematico di una larga parte della fisica e di tutta la chimica sono quindi completamente note, e la difficoltà sta solo nel fatto che l'applicazione di queste leggi conduce ad equazioni che sono troppo complesse per essere risolte.”
Occorre dire che questa frase di Dirac è del 1929, ossia circa vent'anni prima della costruzione del primo computer. Da allora, grazie a computer sempre più potenti ed ai metodi di risoluzione approssimati messi a punto da generazioni di matematici, fisici e chimici, possiamo arrivare a trattare molecole anche abbastanza complesse come gli enzimi. Questo non significa che la frase di Dirac sia falsa. La complessità delle equazioni che sorgono nell'applicazione della meccanica quantistica a problemi chimici è tale da richiedere l'uso dei computer più potenti al mondo. È ragionevole tuttavia pensare che un giorno non molto lontano si arriverà addirittura ad una descrizione matematica del funzionamento di una cellula e quindi anche della vita!

domenica 2 novembre 2014

Il pH.

Un altro argomento piuttosto difficile per chi è alle prime armi è quello del pH. Il pH (che sta per potenziale idrogeno (H)) di una soluzione acquosa si definisce in base alla formula:


ossia il logaritmo in base 10 cambiato di segno dell'attività degli ioni idrogeno nella soluzione.

L'attività di uno ione in soluzione è una quantità adimensionale (ossia che non ha una unità di misura) molto difficile da misurare e da valutare teoricamente, che tiene conto delle interazioni reciproche fra ione e ione e con tutte le altre specie chimiche presenti in soluzione (il controione, il solvente ed altri eventuali ioni o specie elettricamente neutre).
L'attività di uno ione si può esprimere come il prodotto fra il coefficiente di attività e la concentrazione dello ione medesimo, quindi nel nostro caso possiamo scrivere:


Affinchè l'attività sia adimensionale il coefficiente di attività deve avere le dimensioni uguali al reciproco di una concentrazione.

 Per soluzioni diluite si può fare l'utile approssimazione seguente:
in quanto il coefficiente di attività tende ad 1 con il tendere della concentrazione a 0.

Da tutto questo traiamo la conclusione che per soluzioni diluite il pH può essere espresso come:

Questa è la definizione che viene solitamente data di pH. Si deve però fare la precisazione che con la concentrazione di ioni idrogeno [H+] in questa formula si intende il solo valore numerico privo della dimensione.
Questa è anche la definizione di pH che venne originariamente introdotta dal biochimico danese S. P. L. Sørensen (1868 - 1939) durante i suoi studi sulla fermentazione della birra.
 La definizione del pH proposta da Sørensen ebbe subito molto successo tra i biochimici e ben presto si estese a tutti gli ambiti della chimica poichè permetteva di esprimere il campo di concentrazioni di ioni idrogeno, che spazia su diversi ordini di grandezza, attraverso numeri piccoli e positivi. 

Determiniamo ad esempio qual è il pH di una soluzione 0,05M di HCl. Essendo l'HCl un acido forte esso è totalmente dissociato in soluzione per cui:

 La difficoltà maggiore nell'uso della definizione del pH sta, a mio parere, nel logaritmo che è un'operazione matematica che spesso non viene spiegata con sufficiente chiarezza, ma che è necessario invece capire bene.
A questo proposito rimando al post sui logaritmi che ho scritto.

I logaritmi in chimica/2ª parte.

In questo secondo post sull'argomento logaritmi e chimica parlerò del grafico del logaritmo. Prima di iniziare riassumiamo brevemente quanto detto nel primo post sui logaritmi. Con l'espressione:

b = log10 a

si intende dire che b è il logaritmo in base 10 di a. Questo significa che se si elevasse 10 (la base) per b (il logaritmo) si otterrebbe a (l'argomento) che in formule sarebbe:

10b = a

L'argomento del logaritmo (a) deve essere un numero maggiore di zero. La base (nel nostro caso 10) deve essere maggiore di zero e diversa da 1. Il logaritmo (b), invece, può assumere qualsiasi valore positivo, negativo e anche zero.

Queste ultime considerazioni sono illustrate nella figura seguente:



In questa figura viene rappresentato il grafico del logaritmo in base 10 (log10 a) con tratto blu, ed il grafico del logaritmo il base e (dove con e si intende il numero di Nepero pari a 2,7182… e si indica il logaritmo in questa base con ln a) con tratto rosso.

Dalla figura si vede che entrambi i grafici si incrociano nel punto (1,0), e questo perché qualsiasi base (sia essa 10 oppure e o qualsiasi altra) elevata a 0 dà come risultato sempre 1. Da questo abbiamo che il logaritmo di 1 in qualsiasi base è sempre 0 (vedi Esempio 3 del precedente post), e quindi, il grafico del logaritmo deve sempre passare per (1,0) qualsiasi sia la sua base.

Come si vede dalla figura, man mano che il valore dell'argomento del logaritmo (a) si avvicina a zero i grafici di entrambi i logaritmi discendono “a precipizio” verso valori negativi grandissimi . Questo andamento è dovuto al fatto che il logaritmo di 0 in qualsiasi base vale -∞ (leggi “meno infinito”) ossia assume un valore negativo infinitamente grande (matematicamente parlando sarebbe più corretto dire che “il logaritmo tende a -∞ al tendere del suo argomento verso 0 dal lato positivo”).

Da questa figura inoltre si vede che i logaritmi in base 10 ed in base e (così come quelli in qualsiasi altra base) non esistono per valori negativi dell'argomento (a).

Ho messo anche in evidenza nei grafici dei due logaritmi i valori di log1010 (punto (10,1)) e di ln e (punto (e,1)) che in entrambi i casi ovviamente valgono 1. Infatti log1010 corrisponde a chiedersi: “a quale base devo elevare 10 per ottenere 10”, mentre ln e corrisponde a chiedersi: “a quale base devo elevare e per ottenere e” e la risposta in entrambi i casi è ovviamente 1.

Infine da questi grafici si può capire qualitativamente perché il logaritmo è stato scelto per la definizione del pH. Infatti pH=1 rappresenta una concentrazione di H+ pari a 0,1M, mentre pH=14 rappresenta una concentrazione di H+ pari a 0,00000000000001M (ossia in notazione scientifica 10-14M), quindi esprimere le concentrazioni di H+ in termini di pH permette di trattare con numeri “piccoli” e positivi dei campi di concentrazione di H+ che spaziano per 14 ordini di grandezza evitandoci di usare dei numeri scomodissimi con tanti zeri dietro la virgola o delle notazioni scientifiche con degli esponenti come nel caso di pH=14.

lunedì 19 novembre 2012

Bilanciatore di reazioni chimiche on-line


Navigando per il WWW mi sono imbattuto in un sito che offre la possibilità di bilanciare on-line le reazioni chimiche. Ho fatto alcune prove ed i risultati sono affidabili. Il link è il seguente:

http://www.webqc.org/balance.php

Il sito naturalmente è in inglese, per cui per venire in aiuto a chi non conosce la lingua, posto qui una traduzione delle istruzioni per usare questo bilanciatore di equazioni in linea. Le istruzioni sono le seguenti:
  • Enter an equation of a chemical reaction and press the 'Balance!' button. The answer will appear below.
(Introduci un'equazione di una reazione chimica e premi il bottone 'Balance!'. La risposta apparirà al di sotto).
  • Always use the upper case for the first character in the element name and the lower case for the second character.
    Examples: Fe, Au, Co, Br, C, O, N, F. Compare: Co - cobalt and CO - carbon monoxide
(Usa sempre la lettera maiuscola per il primo carattere che indica l'elemento e il carattere minuscolo per il secondo carattere. Esempi: Fe, Au, Co, Br, C, O, N. F. Confronta: Co – cobalto e CO – monossido di carbonio.
  • To enter an electron into a chemical equation use {-} or e
(Per introdurre un elettrone nell'equazione chimica usa {-} o e.
[Nota del traduttore: per scrivere le parentesi graffe {} con una tastiera italiana bisogna tenere premuti contemporaneamente il tasto ALT(destro) e SHIFT e premere il tasto “è” per generare “{“ e il tasto a fianco “+” per generare “}”. Una soluzione furba può essere quella di fare un copia-incolla delle parentesi graffe che compaiono nel sito stesso sia nelle istruzioni che negli esempi].)
  • To enter an ion specify charge after the compound in curly brackets: {+3} or {3+} or {3}.
    Example: Fe{3+} + I{-} = Fe{2+} + I2
(Per introdurre uno ione, specificare la carica dopo il composto in parentesi graffe: {+3} o {3+} o{3}[???]. Esempio: Fe{3+} + I{-} = Fe{2+} + I2.)
  • Substitute immutable groups in chemical compounds to avoid ambiguity.
    For instance equation C6H5C2H5 + O2 = C6H5OH + CO2 + H2O will not be balanced,
    but XC2H5 + O2 = XOH + CO2 + H2O will.
(Nei composti chimici sostituire gruppi che non mutano per evitare ambiguità. Per esempio l'equazione C6H5C2H5 + O2 = C6H5OH + CO2 + H2O non verrà bilanciata, invece XC2H5 + O2 = XOH + CO2 + H2O lo sarà).  
  • Compound states [like (s) (aq) or (g)] are not required.
(Gli stati del composto [come (s) (aq) o (g)] non sono necessari).
  • If you do not know what products are enter reagents only and click 'Balance!'. In many cases a complete equation will be suggested.
(Se non si conoscono quali siano i prodotti introduci solamente i reagenti e clicca 'Balance!'. In molti casi sarà suggerita una equazione completa).

Il sito, dopo il bilanciamento, offre il link al bilanciamento della vostra reazione che resta nel server che ospita il sito.

Penso che il metodo di bilanciamento usato dal software dietro questo sito sfrutti il metodo che vi ho descritto nei precedenti post del 22 Novembre 2010 e del 15 Novembre 2012.

Negli online tools offerti dal sito sono anche presenti due editor di molecole (che sfruttano Java) che permettono di disegnare strutture molecolari.
Buon divertimento!

Recentemente è stata anche messa una versione in italiano direttamente sul sito in questione a questo link, tuttavia ritengo che la mia traduzione delle istruzioni sia decisamente migliore!

sabato 17 novembre 2012

I logaritmi in chimica/1ª parte.

L'operazione di logaritmo si incontra piuttosto di frequente in chimica ad esempio nella definizione del pH. Il pH è definito come il negativo del logaritmo in base 10 della concentrazione di ioni idrogeno, ossia:
                       pH = - log10 [H+]

Il logaritmo si usa anche in definizioni simili a quelle del pH, ma applicate alle costanti di equilibrio (K), ossia le pK:

pK = - log10 K

Quindi una conoscenza basilare dell’operazione di logaritmo è fondamentale. In particolare in chimica e in fisica si incontrano frequentemente i logaritmi in base 10 e in base e (ossia il numero di Nepero che vale 2,7182…). Questi ultimi vengono detti logaritmi naturali.

In questo post, per semplicità e per la loro utilità, considererò esclusivamente i logaritmi in base 10, ma tutto quello che dirò potrà essere applicato tranquillamente anche ai logaritmi in base e e a quelli in qualsiasi altra base.

Cominciamo con qualche definizione. Data l’espressione:

b = log10 a

a viene chiamato argomento del logaritmo, 10 è la base del logaritmo e b, essendo il risultato dell’operazione, è detto il logaritmo. Ma cosa vuol dire che “b è il logaritmo in base 10 di a” ? È semplice. Significa che:

10b = a

ossia che se elevo 10 (la base) per b otterrò a (l’argomento). Possiamo quindi dire che trovare il logaritmo in base 10 di un numero a significa trovare l’esponente a cui elevare la base (10) per ottenere a (l’argomento).
Facciamo qualche esempio concreto:

Esempio 1:  log10 1000 = ?

La risposta è facile. Basta chiedersi: a quale potenza devo elevare 10 per ottenere 1000? La soluzione è 3. Infatti 103 = 1000. Quindi:

log10 1000 = 3

Esempio 2: log10 2000 = ?

La risposta qui non è di certo 6, infatti pur essendo 2000 il doppio di 1000, abbiamo che 106 = 1000000 e non 2000. Per dare una risposta si deve usare una calcolatrice (o, come facevano i nostri vecchi, consultare le tavole cartacee dei logaritmi). La calcolatrice di Windows mi dice:

log10 2000 = 3,3010299956639811952137388947245

Il risultato è un po’ più grande di 3 e più piccolo di 6 per cui, per quello che ne sappiamo, dovrebbe essere giusto. Se proviamo a verificarlo calcolando la potenza di 10, infatti si ha:

103,3010299956639811952137388947245 = 2000

A questo punto occorre fare una piccola considerazione sul calcolo dei logaritmi con la calcolatrice. Bisogna fare attenzione! Infatti in molte calcolatrici compare anche il tasto marcato con ln o simili, che in genere significa logaritmo naturale, ossia quello in base e di cui abbiamo accennato prima. Di solito il logaritmo in base 10 viene calcolato premendo il tasto marcato con log. Se avete dubbi sul funzionamento dei tasti della vostra calcolatrice, provate a fare dei calcoli di prova di cui conoscete il risultato, oppure consultate il manuale della vostra calcolatrice.

Esempio 3: log10 1 = ?

La risposta è semplice se si ricorda che qualsiasi base (e quindi anche 10) elevata a zero dà 1, per cui:

log10 1 = 0

Da questo esempio possiamo trarre una conclusione molto generale, ossia il logaritmo di 1 in qualsiasi base è sempre 0.

Ed adesso un esempio apparentemente difficile:

Esempio 4: log10 0,1 = ?

Si può pensare di ricorrere alla calcolatrice, ma si può dare una risposta immediata se ricorda che: 0,1 = 10-1 . Si può quindi riscrivere il nostro esempio come:

log10 0,1 = log10 10-1 = ?

La risposta a questo punto è banale: a quale potenza devo elevare 10 per ottenere 10-1 ? Ovviamente –1. Per cui:

log10 0,1 = –1

Esempio 5: log10 0,001 = ?

Se avete capito l’esempio di prima qui non è difficile, perché 0,001 = 10-3
per cui: log10 0,001 = -3

Ed adesso un esempio finale che mette in evidenza una caratteristica che deve possedere l’argomento del logaritmo.

Esempio 6: log10 -0,1 = ?

A quale potenza devo elevare 10 per ottenere –0,1? Se provate a far fare il calcolo alla calcolatrice otterrete senz’altro una risposta di errore e questo perché una soluzione a questo calcolo non esiste. Quindi:

log10 -0,1 = non esiste

Del resto se ci pensate bene anche elevando 10 ad un esponente negativo si ottiene sempre un valore positivo seppur piccolo (vedi Esempio 4 e 5 prima). Da qui ricaviamo la condizione che l’argomento del logaritmo deve sempre essere maggiore di zero affinché il logaritmo abbia un senso. A questo proposito sorge spontanea la domanda: esiste un valore per il logaritmo di zero, ossia:

log10 0 = ?

Si può pensare che elevando 10 ad un numero negativo grandissimo si possa ottenere zero. Per la precisione il numero negativo deve essere infinitamente grande e si scrive:

log10 0 = –∞

e si dice che il logaritmo di zero vale “meno infinito”.

E va bene, l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero, ma per quel che riguarda la base del logaritmo cosa possiamo dire? Anche la base deve essere maggiore di zero. Infatti, sebbene si possa calcolare ad esempio:

-103 = 1000

ossia le potenze di –10 per valori interi (0, 1, 2, 3, …) dell’esponente, elevare –10 ad un esponente non intero non ha nessun senso, ad esempio:

-101,5 = ?? è un’espressione che non ha nessun senso!

Non ha senso nemmeno una base uguale ad 1, infatti ad esempio:

log1 2 = non esiste

ossia il logaritmo in base 1 per qualsiasi valore dell’argomento (tranne 1) non esiste, infatti non esiste un esponente a cui elevare 1 per ottenere 2!

Ovviamente sono accettabile basi non intere comprese tra 1 e 0, e basi maggiori di 1 come la nostra base 10 che viene usata nella definizione del pH.

Per concludere si può quindi dire che, affinché l’operazione di logaritmo abbia senso:
  • l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0
  • la base del logaritmo deve essere maggiore di 0 e diversa da 1
In un prossimo post mi occuperò delle proprietà dell’operazione logaritmo che sono molto utili nello svolgere calcoli.